Журнал Кванта

2 февраля 2023 г.

Кристина Армитидж / Журнал Quanta

Корреспондент

2 февраля 2023 г.

Более 60 лет назад Ральф Фокс поставил задачу об узлах, которая не дает покоя математикам по сей день. Его вопрос теперь часто формулируется как «гипотеза о срезе ленты», которая утверждает, что две, казалось бы, разные группы узлов на самом деле одинаковы. Предлагая элегантную простоту в мире узлов, она стала одной из самых громких проблем в теории узлов. «Это означало бы, что мир немного более структурирован, чем можно было бы ожидать в противном случае», — сказала Арунима Рэй, математик из Института математики Макса Планка в Бонне.

На протяжении десятилетий считалось, что один конкретный узел может стать возможным путем к разрешению этой гипотезы. Однако в статье, опубликованной прошлым летом, пять математиков обнаружили, что этот узел все-таки не сработает. Хотя представленные ими аргументы дадут новое понимание более широкого класса узлов, работа в целом оставляет математиков в неуверенности в отношении этой гипотезы. «Я думаю, что существует вполне законный спор о том, окажется ли это правдой или нет», — сказала Кристен Хендрикс, математик из Университета Рутгерса.

Гипотеза о срезе-ленте касается двух типов узлов: срезных узлов и ленточных узлов. Выяснение того, какие узлы являются разрезами, является «одним из фундаментальных вопросов, вокруг которых вращается наша тема», — сказал Абхишек Маллик, один из авторов новой статьи.

Математический узел можно представить как обычную петлю из веревки. Математики называют простую петлю без узла «незавязкой». (Хотя это не узел в обычном смысле этого слова, математики считают узел простейшим примером узла.)

Узлы также определяют границы формы, которую математики называют диском, хотя она не всегда выглядит дискообразной в обычном смысле этого слова. Самый простой пример — узел — образует границу круга — «диска», который действительно выглядит как диск. Но петля образует границу не только круга, лежащего на столе, но и чаши, простирающейся в трех измерениях, поставленной вверх дном на стол. Диски, которые определяют узлы, можно расширить из трех измерений в четыре.

Если на веревке есть узел, диски усложняются. В трехмерном пространстве эти диски имеют особенности — точки, в которых они ведут себя математически плохо. Срезные узлы — это те, для которых можно — в четырёх измерениях — найти диск без таких особенностей. Срезные узлы — это «лучшее, что может быть после обычного узла», как выразился Питер Тейхнер, также из Института Макса Планка.

Несмотря на это, диски, ограниченные узлами срезов в трех измерениях, могут быть некрасивыми и с ними сложно работать. Гипотеза о срезе-ленте утверждает, что это не обязательно так.

Ленточные узлы — это узлы, диски которых напоминают ленты. В трех измерениях эти ленты могут проходить сквозь себя, так же, как обычную ленту можно протянуть через разрез, сделанный в ее центре. Математически такой переход называется ленточной особенностью. В отличие от других типов особенностей, ленточную особенность можно легко устранить, переместившись в четыре измерения. Это позволяет математикам легко показать, что все узлы ленты разрезаны.

Обратное — что каждый узел-срез также является лентой — является гипотезой о срезе-ленте, вопрос которой оставался открытым на протяжении десятилетий. (Что еще больше усложняет ситуацию, узлы срезов имеют несколько родственных классификаций, включая «гладкий срез» и «топологически срез». Эта гипотеза применима только к узлам типа «гладкий срез», которые математики обычно подразумевают под «срезом».)

Чтобы опровергнуть догадку, достаточно найти узел, гладко разрезанный, а не ленточный. На протяжении десятилетий математики присматривались к кандидату: тросу (2, 1) узла «восьмерка», сделанному путем продевания второй нити вдоль узла «восьмерка» и последующего слияния двух ниток в один узел.